1. Cambio de variable:
Definimos $x = \sqrt{m}$ y $y = \sqrt{n}$. Entonces $m = x^2$, $n = y^2$ y $\sqrt{mn} = xy$.
La expresión queda como:
$$ \frac{x^2+y^2}{x+y} \div \left( \frac{x^2+y^2}{xy} + \frac{y^2}{x^2 - xy} - \frac{x^2}{xy + y^2} \right) $$

2. Simplificación del paréntesis:
Primero factorizamos los denominadores:
$$ \frac{x^2+y^2}{xy} + \frac{y^2}{x(x - y)} - \frac{x^2}{y(x + y)} $$
El común denominador es $xy(x - y)(x + y) = xy(x^2 - y^2)$.
Numerador:
$$ (x^2+y^2)(x^2-y^2) + y^2[y(x+y)] - x^2[x(x-y)] $$
$$ = (x^4 - y^4) + (xy^3 + y^4) - (x^4 - x^3y) $$
$$ = x^4 - y^4 + xy^3 + y^4 - x^4 + x^3y = xy^3 + x^3y $$
$$ = xy(y^2 + x^2) $$
Por lo tanto, el paréntesis es:
$$ \frac{xy(x^2 + y^2)}{xy(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} $$

3. División final:
Sustituimos de vuelta:
$$ \frac{x^2+y^2}{x+y} \div \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{x^2+y^2}{x+y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $$
$$ = \frac{x^2 - y^2}{x+y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} = x - y $$

4. Retorno a las variables originales:
Como $x = \sqrt{m}$ y $y = \sqrt{n}$, el resultado es $\sqrt{m} - \sqrt{n}$.

Estructura de la simplificación:
$$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Parte} & \text{Resultado} \\ \hline \text{Dividendo} & \frac{m+n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} \\ \hline \text{Divisor (simplificado)} & \frac{m+n}{m-n} \\ \hline \text{Operación final} & \frac{m+n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} \cdot \frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{m+n} \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\sqrt{m} - \sqrt{n}} $$