1. Cambio de variable:
Para facilitar el cálculo, definimos $u = \sqrt[4]{ab}$. Entonces $\sqrt{ab} = u^2$. La expresión se convierte en:
$$ E = \left( \frac{u - u^2}{1 - u^2} + \frac{1 - u}{u} \right) \div \frac{u}{1 + u^3} - \frac{1 - u - u^2}{u^2} $$

2. Simplificación del paréntesis:
Factorizamos el primer término:
$$ \frac{u(1 - u)}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{u}{1 + u} $$
Sumamos con el segundo término:
$$ \frac{u}{1 + u} + \frac{1 - u}{u} = \frac{u^2 + (1 - u)(1 + u)}{u(1 + u)} = \frac{u^2 + 1 - u^2}{u(1 + u)} = \frac{1}{u(1 + u)} $$

3. Operación de división:
Recordamos que dividir es multiplicar por el recíproco:
$$ \frac{1}{u(1 + u)} \cdot \frac{1 + u^3}{u} $$
Factorizamos la suma de cubos $1 + u^3 = (1 + u)(1 - u + u^2)$:
$$ \frac{(1 + u)(1 - u + u^2)}{u^2(1 + u)} = \frac{1 - u + u^2}{u^2} $$

4. Sustracción final:
Restamos el último término:
$$ \frac{1 - u + u^2}{u^2} - \frac{1 - u - u^2}{u^2} = \frac{(1 - u + u^2) - (1 - u - u^2)}{u^2} $$
$$ = \frac{1 - u + u^2 - 1 + u + u^2}{u^2} = \frac{2u^2}{u^2} = 2 $$

Representación del flujo operacional:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Paréntesis} & \rightarrow & \frac{1}{u(1+u)} \\ \downarrow & & \\ \text{División} & \rightarrow & \frac{1-u+u^2}{u^2} \\ \downarrow & & \\ \text{Resta} & \rightarrow & 2 \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{2} $$