1. Simplificación de los términos internos:
Analizamos primero las expresiones dentro de las raíces cúbicas. Para el primer término:
$$ \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} $$
Sustituimos esto en el primer radical cúbico:
$$ \sqrt[3]{(x^2+1) \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}} $$

Para el segundo término, realizamos un procedimiento análogo:
$$ \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} $$
Sustituyendo en el segundo radical cúbico:
$$ \sqrt[3]{(x^2-1) \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}} $$

2. Reconstrucción de la base:
Llamemos $S$ a la expresión dentro del paréntesis:
$$ S = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}} $$

3. Aplicación del exponente $-2$:
La expresión original es $S^{-2} = \frac{1}{S^2}$:
$$ S^{-2} = \left( \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} \right)^2 = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2} $$
Desarrollamos el binomio al cuadrado en el denominador:
$$ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2 = (x^2+1) + (x^2-1) + 2\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)} $$
$$ = 2x^2 + 2\sqrt{x^4-1} $$

4. Racionalización del denominador:
Tenemos ahora:
$$ \frac{\sqrt[3]{x^2}}{2(x^2 + \sqrt{x^4-1})} $$
Multiplicamos por el conjugado $\frac{x^2 - \sqrt{x^4-1}}{x^2 - \sqrt{x^4-1}}$:
$$ \frac{\sqrt[3]{x^2}(x^2 - \sqrt{x^4-1})}{2(x^4 - (x^4-1))} = \frac{\sqrt[3]{x^2}(x^2 - \sqrt{x^4-1})}{2(1)} $$

Representación de la estructura del problema:
$$ \begin{array}{|l|c|} \hline \text{Componente} & \text{Forma Simplificada} \\ \hline \text{Radical 1} & (x^2+1)^{1/2} / x^{1/3} \\ \hline \text{Radical 2} & (x^2-1)^{1/2} / x^{1/3} \\ \hline \text{Denominador final} & 2(x^2 + \sqrt{x^4-1}) \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sqrt[3]{x^2}(x^2 - \sqrt{x^4-1})}{2}} $$
Queda demostrada la igualdad.