1. Simplificación de cada término:

Analicemos el primer término $T_1$:
$$ T_1 = \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}} $$
Multiplicamos el numerador y el denominador por $a^{\frac{1}{3}}$ para eliminar el exponente negativo:
$$ T_1 = \frac{2a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}) \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{2}{a - 3a^{\frac{2}{3}}} $$

Analicemos el segundo término $T_2$:
$$ T_2 = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a - 1)} = \frac{1}{a - 1} $$

Analicemos el tercer término $T_3$:
$$ T_3 = \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $$
Factorizamos el denominador cuadrático buscando dos números que multiplicados den $3$ y sumados $-4$ (estos son $-3$ y $-1$):
$$ T_3 = \frac{a+1}{(a-3)(a-1)} $$

2. Operación de los términos $T_2$ y $T_3$:
Calculamos $T_2 + T_3$ para ver si iguala a $T_1$:
$$ \frac{1}{a-1} + \frac{a+1}{(a-3)(a-1)} = \frac{(a-3) + (a+1)}{(a-3)(a-1)} = \frac{2a - 2}{(a-3)(a-1)} $$
Factorizamos el numerador:
$$ \frac{2(a-1)}{(a-3)(a-1)} = \frac{2}{a-3} $$

3. Verificación de la identidad:
$$ \frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-3)(a-1)} = \frac{2}{a-3} - \left( \frac{2}{a-3} \right) = 0 $$

4. Dominio de definición:
El dominio está restringido por los valores que anulan los denominadores:

• $a \neq 0$ (por los exponentes negativos y fraccionarios).
• $a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$.
• $a - 3 \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$.

$$ \boxed{\text{Dominio: } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 3\}} $$