Trabajaremos con el radicando (la expresión dentro de la raíz) para simplificarla.

1. Cambio de variable:
Sea $x = a + \frac{2}{a}$.
Elevando al cuadrado: $x^2 = (a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{2}{a}) + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$.
De aquí despejamos el término $a^2 + \frac{4}{a^2}$:
$$ a^2 + \frac{4}{a^2} = x^2 - 4 $$

2. Sustitución en el radicando:
Sustituimos estos valores en la expresión original:
$$ (x^2 - 4)^2 - 8x^2 + 48 $$
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
$$ (x^4 - 8x^2 + 16) - 8x^2 + 48 = x^4 - 16x^2 + 64 $$

3. Reconocimiento de producto notable:
Observamos que $x^4 - 16x^2 + 64$ es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ x^4 - 16x^2 + 64 = (x^2 - 8)^2 $$

4. Aplicación de la raíz cuadrada:
$$ \sqrt{(x^2 - 8)^2} = |x^2 - 8| $$
Sustituimos de vuelta $x^2 = (a + \frac{2}{a})^2$:
$$ |(a + \frac{2}{a})^2 - 8| = |a^2 + 4 + \frac{4}{a^2} - 8| = |a^2 - 4 + \frac{4}{a^2}| $$
Notamos que $a^2 - 4 + \frac{4}{a^2}$ es exactamente el desarrollo de $(a - \frac{2}{a})^2$. Como cualquier número al cuadrado es no negativo, el valor absoluto se mantiene igual:
$$ |(a - \frac{2}{a})^2| = (a - \frac{2}{a})^2 $$

Por lo tanto, la identidad queda demostrada:
$$ \boxed{\sqrt{(a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 8(a + \frac{2}{a})^2 + 48} = (a - \frac{2}{a})^2} $$