Para resolver este problema, simplificaremos la expresión por partes utilizando productos notables y propiedades de radicales.

1. Simplificación del primer término del numerador:
Sea $x = \sqrt[4]{a}$ y $y = \sqrt[4]{b}$. La expresión dentro del paréntesis cuadrado es una identidad de Legendre:
$$ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy $$
Sustituyendo:
$$ ((\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2 - (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^2)^2 = (4\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b})^2 = 16\sqrt[4]{a^2}\sqrt[4]{b^2} = 16\sqrt{a}\sqrt{b} = 16\sqrt{ab} $$

2. Sustitución en la primera fracción:
La fracción se convierte en:
$$ F_1 = \frac{16\sqrt{ab} - (16a+4b)}{4a-b} = \frac{-16a + 16\sqrt{ab} - 4b}{4a-b} $$
Factorizamos $-4$ en el numerador:
$$ F_1 = \frac{-4(4a - 4\sqrt{ab} + b)}{4a-b} $$
Notamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto: $4a - 4\sqrt{ab} + b = (2\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
El denominador es una diferencia de cuadrados: $4a - b = (2\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Sustituyendo:
$$ F_1 = \frac{-4(2\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(2\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{-4(2\sqrt{a} - \sqrt{b})}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{-8\sqrt{a} + 4\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$

3. Suma de las fracciones:
Como ahora ambas fracciones tienen el mismo denominador $2\sqrt{a} + \sqrt{b}$, sumamos directamente los numeradores:
$$ \frac{-8\sqrt{a} + 4\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{10\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{-8\sqrt{a} + 10\sqrt{a} + 4\sqrt{b} - 3\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
$$ \frac{2\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1 $$

Con lo cual queda demostrada la identidad:
$$ \boxed{1 = 1} $$