1. Identificación de cubos perfectos
Intentamos expresar el radicando $5\sqrt{2}+7$ como un binomio al cubo de la forma $(a\sqrt{2} + b)^3$.
Consideremos $(\sqrt{2} + 1)^3$:
$$ (\sqrt{2} + 1)^3 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 + 1^3 $$
$$ (\sqrt{2} + 1)^3 = 2\sqrt{2} + 3(2)(1) + 3\sqrt{2} + 1 = 5\sqrt{2} + 7 $$
Vemos que coincide exactamente con el primer radicando.

2. Segundo radicando
De forma análoga, para el segundo radicando $5\sqrt{2}-7$:
$$ (\sqrt{2} - 1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2} - 7 $$

3. Sustitución y simplificación
Sustituimos estas expresiones en la ecuación original:
$$ \sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3} - \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} $$
Simplificando las raíces cúbicas:
$$ (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) $$
$$ \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 $$
Concluimos que:
$$ \boxed{2=2} $$