1. Transformación de radicales dobles
Para simplificar la expresión, primero analizamos los radicales de la forma $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$. Buscamos expresar $6 \pm 4\sqrt{2}$ como un cuadrado perfecto.
$$ 6 + 4\sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{8} $$
Buscamos dos números $x$ e $y$ tales que $x+y=6$ y $xy=8$. Estos números son $4$ y $2$. Por lo tanto:
$$ \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} $$
De igual manera:
$$ \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} $$

2. Sustitución en la expresión original
Llamemos $E$ a la expresión dentro del paréntesis:
$$ E = \frac{6+4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + (2 + \sqrt{2})} + \frac{6-4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - (2 - \sqrt{2})} $$
Simplificando los denominadores:
$$ E = \frac{6+4 \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} + \frac{6-4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2 + \sqrt{2}} = \frac{6+4 \sqrt{2}}{2(\sqrt{2} + 1)} + \frac{6-4 \sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2} $$
Factorizando el 2 en el segundo denominador:
$$ E = \frac{6+4 \sqrt{2}}{2(\sqrt{2} + 1)} + \frac{6-4 \sqrt{2}}{2(\sqrt{2} - 1)} $$

3. Racionalización y simplificación
Dividimos los numeradores entre 2:
$$ E = \frac{3+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + \frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} $$
Racionalizamos cada término multiplicando por la conjugada:
$$ \begin{aligned} \frac{3+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} &= \frac{3\sqrt{2} - 3 + 4 - 2\sqrt{2}}{2-1} = \sqrt{2} + 1 \\ \frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} &= \frac{3\sqrt{2} + 3 - 4 - 2\sqrt{2}}{2-1} = \sqrt{2} - 1 \end{aligned} $$
Sumamos los resultados:
$$ E = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} $$

4. Elevando al cuadrado
Finalmente, calculamos $E^2$:
$$ E^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $$
$$ \boxed{8=8} $$