1. Análisis y agrupación del denominador ($D$):
$$ D = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{6} - 2 $$
Agrupamos convenientemente:
$$ D = (2\sqrt{2} - 2) + (2\sqrt{3} - \sqrt{6}) $$
Factorizamos términos comunes en cada grupo:
$$ D = 2(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{3}(2 - \sqrt{2}) $$
Notamos que $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$:
$$ D = 2(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) $$
$$ D = 2(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{6}(\sqrt{2} - 1) $$
$$ D = (\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{6}) $$

2. Simplificación de la fracción:
Sustituimos el denominador factorizado en la expresión original:
$$ \frac{2 + \sqrt{6}}{(\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{6})} $$
Cancelamos el término común $(2 + \sqrt{6})$:
$$ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} $$

3. Racionalización final:
Multiplicamos por el conjugado $(\sqrt{2} + 1)$:
$$ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 $$

$$ \boxed{\sqrt{2} + 1} $$