Para racionalizar un denominador con raíces de índice 4, debemos aplicar la diferencia de cuadrados sucesivamente o utilizar la identidad de diferencia de potencias cuartas.

1. Identidad a utilizar:
Recordemos que $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Si aplicamos esto a raíces cuartas:
$$ (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) = \sqrt{x} - \sqrt{y} $$
Luego, para eliminar las raíces cuadradas, multiplicamos por el conjugado del resultado.

2. Primer paso de racionalización:
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado $(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})$:
$$ \frac{1}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}{(\sqrt[4]{5})^2 - (\sqrt[4]{2})^2} = \frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} $$

3. Segundo paso de racionalización:
Ahora eliminamos las raíces cuadradas del denominador multiplicando por $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$:
$$ \frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} $$

4. Desarrollo del denominador:
El denominador se simplifica a:
$$ 5 - 2 = 3 $$

5. Resultado final:
Agrupando los términos del numerador:
$$ \boxed{\frac{(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}} $$