1. Preparación del radical:
$$ \sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{28 - 2(8\sqrt{3})}} = \sqrt{\sqrt{28 - 2\sqrt{192}}} $$

2. Primer nivel de simplificación:
Buscamos números que sumen 28 y multipliquen 192. Probamos factores de 192: $16 \cdot 12 = 192$ y $16 + 12 = 28$.
$$ \sqrt{28 - 2\sqrt{192}} = \sqrt{16} - \sqrt{12} = 4 - 2\sqrt{3} $$

3. Segundo nivel de simplificación:
Sustituimos en la raíz externa:
$$ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} $$
Buscamos números que sumen 4 y multipliquen 3: son 3 y 1.
$$ \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1 $$

Resultado:
$$ \boxed{\sqrt{3} - 1} $$