1. Transformación a raíz de raíz:
$$ \sqrt[4]{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{\sqrt{17 + \sqrt{288}}} $$

2. Simplificación del radical interno:
$\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.
Para aplicar la fórmula de radical doble, necesitamos un 2 fuera de la raíz interna:
$12\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2\sqrt{72}$.
$$ \sqrt{17 + 2\sqrt{72}} $$
Buscamos números que sumen 17 y multipliquen 72: son 9 y 8 ($9+8=17, 9 \cdot 8=72$).
$$ \sqrt{17 + 2\sqrt{72}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2} $$

3. Segunda simplificación:
Ahora resolvemos la raíz exterior:
$$ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} $$
Buscamos números que sumen 3 y multipliquen 2: son 2 y 1.
$$ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1 $$

Resultado:
$$ \boxed{\sqrt{2} + 1} $$