1. Planteamiento:
Buscamos expresar el radicando como un cuadrado perfecto de la forma $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{a} + \sqrt{b} + 2\sqrt[4]{ab}$.
Sin embargo, es más sencillo notar que:
$$ 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = \sqrt{32} + \sqrt{24} $$

Probemos la forma $\sqrt{X+Y+2\sqrt{XY}}$. Para ello, factorizamos $2\sqrt{2}$:
$$ 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{2}(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{8}(2 + \sqrt{3}) $$
Multiplicamos y dividimos por 2 dentro del paréntesis:
$$ \sqrt{8} \left( \frac{4+2\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{2} (4+2\sqrt{3}) = \sqrt{2}(3+1+2\sqrt{3}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)^2 $$

2. Extracción de la raíz:
$$ \sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt[4]{2}(\sqrt{3}+1) $$

3. Distribución:
$$ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[2]{3} + \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{9} + \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{18} + \sqrt[4]{2} $$

Resultado:
$$ \boxed{\sqrt[4]{18} + \sqrt[4]{2}} $$