1. Simplificación de los radicales anidados:
Sabemos que $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$ se puede escribir multiplicando por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$ \sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{\sqrt{2}} $$

2. Análisis del primer término:
Denominador 1: $\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Fracción 1: $\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}$
Racionalizamos multiplicando por $(3-\sqrt{3})$:
$$ \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{\sqrt{2}(6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3)}{6} = \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{6} $$

3. Análisis del segundo término:
Denominador 2: $\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Fracción 2: $\frac{2-\sqrt{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{3-\sqrt{3}}$
Racionalizamos multiplicando por $(3+\sqrt{3})$:
$$ \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{\sqrt{2}(6 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3)}{6} = \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}{6} $$

4. Suma de términos:
$$ E = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{6} = \frac{6\sqrt{2}}{6} $$
$$ E = \sqrt{2} $$

Resultado:
$$ \boxed{\sqrt{2}} $$