1. Identificación de Radicales Dobles:
Utilizamos la propiedad de radicales dobles: $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, donde $x+y=a$ y $xy=b$.

2. Transformación de los términos:
Para el primer término $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$:
Buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6. Estos números son 3 y 2 ($3+2=5$ y $3 \cdot 2=6$).
$$ \sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $$

Para el segundo término $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$:
Siguiendo la misma lógica:
$$ \sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $$

3. Sustitución en la expresión original:
Llamemos $E$ a la expresión original:
$$ E = \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Simplificamos dentro del paréntesis:
$$ E = (2\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} $$

4. Operación final:
Multiplicamos y simplificamos el factor 2:
$$ E = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}^2 $$
$$ E = 3 $$

Resultado:
$$ \boxed{3} $$