Datos del problema:

• Radical doble a simplificar: $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ donde $A = 7$ y $\sqrt{B} = 4\sqrt{3}$.

Fórmulas y Propiedades:
Para transformar un radical doble $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ a radicales simples $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$:
$$ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}} $$
Donde $C = \sqrt{A^2 - B}$.

Desarrollo paso a paso:

1. Identificación de valores:
$A = 7$.
Para hallar $B$, introducimos el 4 dentro de la raíz: $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Entonces, $B = 48$.

2. Cálculo de $C$:
$$ C = \sqrt{7^2 - 48} = \sqrt{49 - 48} = \sqrt{1} = 1 $$

3. Aplicación de la fórmula:
$$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7+1}{2}} + \sqrt{\frac{7-1}{2}} $$
$$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{8}{2}} + \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} $$

Representación visual de la identidad:
$$ \begin{array}{c} \text{Verificación:} \\ \hline (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \\ 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{ 2 + \sqrt{3} } $$