Datos del problema:

• Expresión a evaluar: $E = \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$
• Valor de sustitución: $x = \frac{2ab}{1+b^2}$

Fórmulas y Propiedades:

• Racionalización: $\frac{A+B}{A-B} \cdot \frac{A+B}{A+B} = \frac{(A+B)^2}{A^2-B^2}$
• Productos notables: $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$
• Diferencia de cuadrados: $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

Desarrollo paso a paso:

1. Simplificación de la expresión original mediante racionalización:
Para facilitar el cálculo, multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada del denominador $(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})$:
$$ E = \frac{(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})^2}{(\sqrt{a+x})^2 - (\sqrt{a-x})^2} $$
Expandiendo el numerador y simplificando el denominador:
$$ E = \frac{(a+x) + (a-x) + 2\sqrt{(a+x)(a-x)}}{(a+x) - (a-x)} $$
$$ E = \frac{2a + 2\sqrt{a^2-x^2}}{2x} = \frac{a + \sqrt{a^2-x^2}}{x} $$

2. Cálculo del término $a^2-x^2$:
Sustituimos el valor de $x$:
$$ a^2 - x^2 = a^2 - \left( \frac{2ab}{1+b^2} \right)^2 = a^2 - \frac{4a^2b^2}{(1+b^2)^2} $$
Factorizando $a^2$:
$$ a^2 - x^2 = a^2 \left[ 1 - \frac{4b^2}{(1+b^2)^2} \right] = a^2 \left[ \frac{(1+b^2)^2 - 4b^2}{(1+b^2)^2} \right] $$
Desarrollando el binomio $(1+b^2)^2$:
$$ a^2 - x^2 = a^2 \left[ \frac{1 + 2b^2 + b^4 - 4b^2}{(1+b^2)^2} \right] = a^2 \left[ \frac{1 - 2b^2 + b^4}{(1+b^2)^2} \right] $$
Observamos que el numerador es $(1-b^2)^2$:
$$ a^2 - x^2 = a^2 \frac{(1-b^2)^2}{(1+b^2)^2} \implies \sqrt{a^2-x^2} = \frac{a(1-b^2)}{1+b^2} $$

3. Sustitución final en $E$:
Sustituimos $\sqrt{a^2-x^2}$ y $x$ en la expresión simplificada del paso 1:
$$ E = \frac{a + \frac{a(1-b^2)}{1+b^2}}{\frac{2ab}{1+b^2}} $$
Operando en el numerador:
$$ E = \frac{\frac{a(1+b^2) + a(1-b^2)}{1+b^2}}{\frac{2ab}{1+b^2}} = \frac{a + ab^2 + a - ab^2}{2ab} = \frac{2a}{2ab} $$
$$ E = \frac{1}{b} $$

Resultado final:
$$ \boxed{ \frac{1}{b} } $$