1. Racionalización y simplificación de $a$ y $b$

Primero simplificamos $a$ multiplicando por su conjugado:
$$ a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 + 2 + 2\sqrt{10}}{3} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3} $$
De forma análoga para $b$:
$$ b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 + 2 - 2\sqrt{10}}{3} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} $$
Observamos que $b$ es el recíproco de $a$, por lo tanto:
$$ ab = \left(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\right) = 1 $$

2. Preparación de la expresión para evaluar

Reescribimos la expresión original $E = 3a^2 + 4ab - 3b^2$:
$$ E = 3(a^2 - b^2) + 4ab = 3(a + b)(a - b) + 4ab $$

3. Cálculo de la suma y diferencia

$$ a + b = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3} + \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} = \frac{14}{3} $$
$$ a - b = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3} - \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3} $$

4. Sustitución y cálculo final

$$ E = 3 \left( \frac{14}{3} \right) \left( \frac{4\sqrt{10}}{3} \right) + 4(1) $$
$$ E = \frac{3 \cdot 56\sqrt{10}}{9} + 4 = \frac{56\sqrt{10}}{3} + 4 $$

$$ \boxed{\frac{56\sqrt{10} + 12}{3}} $$