1. Identificación de términos y simplificación de la expresión

Dada la expresión $E = 2a^2 - 5ab + 2b^2$, podemos reescribirla agrupando los términos cuadráticos para facilitar el cálculo mediante productos notables:
$$ E = 2(a^2 + b^2) - 5ab $$

2. Cálculo de los productos y sumas de $a$ y $b$

Calculamos primero el producto $ab$:
$$ ab = (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) $$
Aplicando la diferencia de cuadrados $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$$ ab = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 $$

Calculamos ahora la suma de los cuadrados $a^2 + b^2$:
$$ a^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 = 6 + 5 + 2\sqrt{30} = 11 + 2\sqrt{30} $$
$$ b^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 = 6 + 5 - 2\sqrt{30} = 11 - 2\sqrt{30} $$
Sumando ambos resultados:
$$ a^2 + b^2 = (11 + 2\sqrt{30}) + (11 - 2\sqrt{30}) = 22 $$

3. Sustitución en la expresión original

Sustituimos los valores hallados en la expresión simplificada del paso 1:
$$ E = 2(22) - 5(1) $$
$$ E = 44 - 5 $$
$$ E = 39 $$

Representación de valores:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Variable/Operación} & \text{Valor} \\ \hline a \cdot b & 1 \\ a^2 + b^2 & 22 \\ \hline \text{Resultado Final} & 39 \\ \hline \end{array} $$

$$ \boxed{39} $$