Ii
MATU • Algebra
MATU_RACI_020
Guía de Estudios
Enunciado
Simplificar y calcular la expresión:
$$E = \frac{(z + a)^{-1/2} + (z - a)^{-1/2}}{(z + a)^{-1/2} - (z - a)^{-1/2}}$$
para: $z = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)$
a) $\frac{m}{n}$ b) $\frac{n}{m}$ c) $-\frac{m}{n}$ d) $-\frac{n}{m}$ e) $1$
$$E = \frac{(z + a)^{-1/2} + (z - a)^{-1/2}}{(z + a)^{-1/2} - (z - a)^{-1/2}}$$
para: $z = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)$
a) $\frac{m}{n}$ b) $\frac{n}{m}$ c) $-\frac{m}{n}$ d) $-\frac{n}{m}$ e) $1$
Solución Paso a Paso
1. Sustitución en $z \pm a$:
$z + a = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} + 1 \right) = a \left( \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{2mn} \right) = \frac{a(m+n)^2}{2mn}$
$z - a = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} - 1 \right) = a \left( \frac{m^2 + n^2 - 2mn}{2mn} \right) = \frac{a(m-n)^2}{2mn}$
2. Cálculo de las raíces ($(z \pm a)^{-1/2}$):
$\sqrt{z+a} = (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}$
$\sqrt{z-a} = (m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}$
3. Simplificación de $E$:
La expresión es $E = \frac{\frac{1}{\sqrt{z+a}} + \frac{1}{\sqrt{z-a}}}{\frac{1}{\sqrt{z+a}} - \frac{1}{\sqrt{z-a}}} = \frac{\sqrt{z-a} + \sqrt{z+a}}{\sqrt{z-a} - \sqrt{z+a}}$
Sustituyendo los valores:
$E = \frac{(m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}} + (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}}{(m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}} - (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}}$
$E = \frac{(m-n) + (m+n)}{(m-n) - (m+n)} = \frac{2m}{-2n} = -\frac{m}{n}$
Respuesta correcta: c)
$z + a = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} + 1 \right) = a \left( \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{2mn} \right) = \frac{a(m+n)^2}{2mn}$
$z - a = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} - 1 \right) = a \left( \frac{m^2 + n^2 - 2mn}{2mn} \right) = \frac{a(m-n)^2}{2mn}$
2. Cálculo de las raíces ($(z \pm a)^{-1/2}$):
$\sqrt{z+a} = (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}$
$\sqrt{z-a} = (m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}$
3. Simplificación de $E$:
La expresión es $E = \frac{\frac{1}{\sqrt{z+a}} + \frac{1}{\sqrt{z-a}}}{\frac{1}{\sqrt{z+a}} - \frac{1}{\sqrt{z-a}}} = \frac{\sqrt{z-a} + \sqrt{z+a}}{\sqrt{z-a} - \sqrt{z+a}}$
Sustituyendo los valores:
$E = \frac{(m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}} + (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}}{(m-n) \sqrt{\frac{a}{2mn}} - (m+n) \sqrt{\frac{a}{2mn}}}$
$E = \frac{(m-n) + (m+n)}{(m-n) - (m+n)} = \frac{2m}{-2n} = -\frac{m}{n}$
Respuesta correcta: c)