Ii
MATU • Algebra
MATU_RACI_014
Guía de Radicación
Enunciado
Si $a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ y $b = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$; hallar:
$$E = 7a^2 + 11ab - 7b^2 - 5b\sqrt{3}$$
$$E = 7a^2 + 11ab - 7b^2 - 5b\sqrt{3}$$
Solución Paso a Paso
1. Datos:
Racionalizando: $a = 2 + \sqrt{3}$ y $b = 2 - \sqrt{3}$.
Entonces $ab = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1$ y $a-b = 2\sqrt{3}$.
2. Desarrollo:
$E = 7(a^2 - b^2) + 11(1) - 5(2-\sqrt{3})\sqrt{3}$
$E = 7(8\sqrt{3}) + 11 - 10\sqrt{3} + 15$
$E = 56\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 26 = 46\sqrt{3} + 26$
Resultado: $46\sqrt{3} + 26$.
Racionalizando: $a = 2 + \sqrt{3}$ y $b = 2 - \sqrt{3}$.
Entonces $ab = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1$ y $a-b = 2\sqrt{3}$.
2. Desarrollo:
- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (2\sqrt{3})(4) = 8\sqrt{3}$.
- Sustituimos en $E$:
$E = 7(a^2 - b^2) + 11(1) - 5(2-\sqrt{3})\sqrt{3}$
$E = 7(8\sqrt{3}) + 11 - 10\sqrt{3} + 15$
$E = 56\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 26 = 46\sqrt{3} + 26$
Resultado: $46\sqrt{3} + 26$.