I
MATU • Algebra
MATU_RACI_005
Guía de Estudio
Enunciado
Hallar el valor de:
$$f = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$$
a) $2,73...$ b) $0,73...$ c) $2,42...$ d) $0,42...$ e) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
$$f = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$$
a) $2,73...$ b) $0,73...$ c) $2,42...$ d) $0,42...$ e) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
Solución Paso a Paso
1. Factorización del denominador:
$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} = (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(1 + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{3})$.
2. Simplificación:
$$f = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{3})} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}}$$
3. Racionalización:
$f = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$
4. Valor numérico:
$\sqrt{3} \approx 1,732 \Rightarrow f \approx 1,732 - 1 = 0,732...$
Respuesta: Opción b.
$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} = (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(1 + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{3})$.
2. Simplificación:
$$f = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{3})} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}}$$
3. Racionalización:
$f = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$
4. Valor numérico:
$\sqrt{3} \approx 1,732 \Rightarrow f \approx 1,732 - 1 = 0,732...$
Respuesta: Opción b.