I
MATU • Algebra
MATU_RACI_003
Guía de Estudio
Enunciado
Expresar la suma $\sqrt{4 - \sqrt{15}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ como un solo radical.
a) $\sqrt{3 - 2\sqrt{3}}$ b) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ c) $\sqrt{4 - \sqrt{3}}$ d) $\sqrt{2 + \sqrt{5}}$ e) $\sqrt{3 + 3\sqrt{5}}$
a) $\sqrt{3 - 2\sqrt{3}}$ b) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ c) $\sqrt{4 - \sqrt{3}}$ d) $\sqrt{2 + \sqrt{5}}$ e) $\sqrt{3 + 3\sqrt{5}}$
Solución Paso a Paso
1. Transformación a la forma $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$:
Para $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$\frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
Para $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{\sqrt{2}}$$
2. Suma de fracciones:
$$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$$
3. Expresar como un solo radical:
Elevamos al cuadrado y aplicamos raíz:
$\sqrt{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{\frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$
Respuesta: Opción b.
Para $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$\frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
Para $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{\sqrt{2}}$$
2. Suma de fracciones:
$$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$$
3. Expresar como un solo radical:
Elevamos al cuadrado y aplicamos raíz:
$\sqrt{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{\frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$
Respuesta: Opción b.