Idea inicial:
Recordemos que cualquier cosa dividida por $1$ es igual a sí misma.
El “truco” es reescribir $\sqrt{x}$ como $\frac{\sqrt{x}}{1}$.

$$ \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{1} $$

Paso 1. Hacer común denominador:
El denominador $1$ se convierte en $\sqrt{x}$ multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{x}$:

$$ \frac{\sqrt{x}}{1} = \frac{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}{1\cdot \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} $$

Paso 2. Sumar las fracciones:

$$ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{1+x}{\sqrt{x}} $$

Paso 3. Racionalizar el denominador:
Multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{x}$:

$$ \frac{1+x}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(1+x)\sqrt{x}}{x} $$

Resultado final:

$$ \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} = \frac{(1+x)\sqrt{x}}{x} $$