1. Identificación de los datos del problema:
Para una progresión aritmética (P.A.) donde se interpolan $m$ medios aritméticos entre dos extremos $A$ y $B$:

• Primer término ($a_1$): $a + 1$
• Último término ($a_n$): $a - 1$
• Número de medios interpolados ($m$): $6$
• Número total de términos ($n$): $m + 2 = 6 + 2 = 8$
• Suma de todos los términos ($S_8$): $8$

Representación de la progresión:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 \\ \hline a+1 & m_1 & m_2 & m_3 & m_4 & m_5 & m_6 & a-1 \\ \hline \end{array} $$

2. Determinación del valor de $a$:
Utilizamos la fórmula de la suma de una progresión aritmética:
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$
Sustituyendo los valores conocidos:
$$ 8 = \frac{8[(a + 1) + (a - 1)]}{2} $$
$$ 8 = 4(2a) $$
$$ 8 = 8a \implies a = 1 $$

Por lo tanto, los extremos son:
$$ a_1 = 1 + 1 = 2 $$
$$ a_8 = 1 - 1 = 0 $$

3. Cálculo de la razón ($d$):
Usamos la fórmula del término general $a_n = a_1 + (n - 1)d$:
$$ 0 = 2 + (8 - 1)d $$
$$ -2 = 7d \implies d = -\frac{2}{7} $$

4. Cálculo de los términos centrales:
En una progresión de 8 términos, los términos centrales son $a_4$ y $a_5$.
$$ a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3\left(-\frac{2}{7}\right) = 2 - \frac{6}{7} = \frac{14 - 6}{7} = \frac{8}{7} $$
$$ a_5 = a_1 + 4d = 2 + 4\left(-\frac{2}{7}\right) = 2 - \frac{8}{7} = \frac{14 - 8}{7} = \frac{6}{7} $$

5. Cálculo del producto solicitado:
$$ P = a_4 \cdot a_5 = \frac{8}{7} \cdot \frac{6}{7} $$
$$ \boxed{P = \frac{48}{49}} $$