1. Datos y variables:

• $a_1 = 10$
• Término intermedio: $a_k = 76$
• Término final: $a_n = 100$
• $m_1$: términos entre 10 y 76.
• $m_2$: términos entre 76 y 100.
• Condición: $m_1 = 3m_2$.

2. Ecuaciones de la razón ($r$):
Intervalo 1: $76 = 10 + (m_1 + 1)r \Rightarrow 66 = (3m_2 + 1)r$
Intervalo 2: $100 = 76 + (m_2 + 1)r \Rightarrow 24 = (m_2 + 1)r$

Dividiendo ambas ecuaciones:
$$ \frac{66}{24} = \frac{3m_2 + 1}{m_2 + 1} \Rightarrow \frac{11}{4} = \frac{3m_2 + 1}{m_2 + 1} $$
$$ 11(m_2 + 1) = 4(3m_2 + 1) \Rightarrow 11m_2 + 11 = 12m_2 + 4 \Rightarrow m_2 = 7 $$

3. Cálculo de la razón y total de términos ($n$):
$$ r = \frac{24}{7 + 1} = \frac{24}{8} = 3 $$
$$ m_1 = 3(7) = 21 $$
Total de términos $n = m_1 + m_2 + 3 = 21 + 7 + 3 = 31$ (donde 3 son los valores 10, 76 y 100).

4. Suma de la progresión:
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{31(10 + 100)}{2} = \frac{31 \cdot 110}{2} = 31 \cdot 55 $$
$$ S_n = 1705 $$

Resultado:
$$ \boxed{1705} $$