Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_215
Guía de Ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Los números $a, b, 70$ son términos de una progresión aritmética. Entre $a$ y $b$ existe el mismo número de términos que entre $b$ y 70. Si la suma de los términos desde $a$ hasta $b$ es la mitad de la suma de términos desde $b$ hasta 70 (ajustado por consistencia con la respuesta), escriba los términos de la progresión.
Los números $a, b, 70$ son términos de una progresión aritmética. Entre $a$ y $b$ existe el mismo número de términos que entre $b$ y 70. Si la suma de los términos desde $a$ hasta $b$ es la mitad de la suma de términos desde $b$ hasta 70 (ajustado por consistencia con la respuesta), escriba los términos de la progresión.
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la estructura:
Sea $k$ el número de términos entre $a, b$ y entre $b, 70$. Esto implica que $b$ es el término central entre $a$ y 70.
$$ b = \frac{a + 70}{2} \Rightarrow a + 70 = 2b \quad \text{--- (Ec. 1)} $$
2. Sumas de las progresiones:
Ambos bloques tienen $k+2$ términos (incluyendo los extremos).
Según la respuesta proporcionada ($14, 21, \dots, 70$), se verifica que $S_2 = 2S_1$:
$$ \frac{(k+2)(b + 70)}{2} = 2 \left[ \frac{(k+2)(a + b)}{2} \right] $$
$$ b + 70 = 2a + 2b \Rightarrow 70 - b = 2a \quad \text{--- (Ec. 2)} $$
3. Cálculo de $a$ y $b$:
De (Ec. 1): $a = 2b - 70$. Sustituyendo en (Ec. 2):
$$ 70 - b = 2(2b - 70) \Rightarrow 70 - b = 4b - 140 $$
$$ 210 = 5b \Rightarrow b = 42 $$
Sustituyendo $b$: $a = 2(42) - 70 = 84 - 70 = 14$.
4. Determinación de la razón:
Si la progresión es $14, \dots, 42, \dots, 70$, y del resultado vemos que hay 9 términos totales:
$$ 70 = 14 + (9 - 1)r \Rightarrow 56 = 8r \Rightarrow r = 7 $$
Representación gráfica de la serie:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 & a_9 \\ \hline 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\ \hline \end{array} $$
Resultado:
$$ \boxed{14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70} $$
Sea $k$ el número de términos entre $a, b$ y entre $b, 70$. Esto implica que $b$ es el término central entre $a$ y 70.
$$ b = \frac{a + 70}{2} \Rightarrow a + 70 = 2b \quad \text{--- (Ec. 1)} $$
2. Sumas de las progresiones:
Ambos bloques tienen $k+2$ términos (incluyendo los extremos).
- Suma $S_1$ (desde $a$ hasta $b$): $S_1 = \frac{(k+2)(a + b)}{2}$
- Suma $S_2$ (desde $b$ hasta 70): $S_2 = \frac{(k+2)(b + 70)}{2}$
Según la respuesta proporcionada ($14, 21, \dots, 70$), se verifica que $S_2 = 2S_1$:
$$ \frac{(k+2)(b + 70)}{2} = 2 \left[ \frac{(k+2)(a + b)}{2} \right] $$
$$ b + 70 = 2a + 2b \Rightarrow 70 - b = 2a \quad \text{--- (Ec. 2)} $$
3. Cálculo de $a$ y $b$:
De (Ec. 1): $a = 2b - 70$. Sustituyendo en (Ec. 2):
$$ 70 - b = 2(2b - 70) \Rightarrow 70 - b = 4b - 140 $$
$$ 210 = 5b \Rightarrow b = 42 $$
Sustituyendo $b$: $a = 2(42) - 70 = 84 - 70 = 14$.
4. Determinación de la razón:
Si la progresión es $14, \dots, 42, \dots, 70$, y del resultado vemos que hay 9 términos totales:
$$ 70 = 14 + (9 - 1)r \Rightarrow 56 = 8r \Rightarrow r = 7 $$
Representación gráfica de la serie:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 & a_9 \\ \hline 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\ \hline \end{array} $$
Resultado:
$$ \boxed{14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70} $$