1. Datos del problema
Para la primera progresión aritmética ($PA_1$):

• Primer término: $a_1 = 18$
• Número de términos: $n = 15$
• Suma de los términos: $S_{15} = 585$

Para la segunda progresión aritmética ($PA_2$):

• Primer término: $b_1 = 8$
• Razón: $r_2 = 4$

2. Fórmulas a utilizar
Fórmula de la suma de una P.A.:
$$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$
Término general de una P.A.:
$$a_k = a_1 + (k-1)d$$

3. Desarrollo paso a paso

Paso A: Hallar la razón ($d$) de la primera progresión ($PA_1$)
Sustituimos los valores conocidos en la fórmula de la suma:
$$585 = \frac{15}{2} [2(18) + (15-1)d]$$
Multiplicamos por 2 y dividimos por 15:
$$\frac{585 \cdot 2}{15} = 36 + 14d$$
$$39 \cdot 2 = 36 + 14d$$
$$78 = 36 + 14d$$
$$42 = 14d \Rightarrow d = 3$$

Paso B: Plantear la igualdad de términos en la misma posición $k$
Sea $a_k$ el término de la $PA_1$ y $b_k$ el término de la $PA_2$ en la posición $k$:
$$a_k = 18 + (k-1)3$$
$$b_k = 8 + (k-1)4$$

Dado que $a_k = b_k$:
$$18 + 3(k-1) = 8 + 4(k-1)$$
Restamos 8 en ambos lados y restamos $3(k-1)$ en ambos lados:
$$10 = (k-1)$$
$$k = 11$$

Paso C: Calcular el valor del término
Sustituimos $k=11$ en cualquiera de las dos expresiones:
$$a_{11} = 18 + (11-1)3 = 18 + 30 = 48$$

4. Representación visual de las progresiones
$$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Posición (k)} & 1 & 2 & 3 & \dots & \mathbf{11} \\ \hline PA_1 (d=3) & 18 & 21 & 24 & \dots & \mathbf{48} \\ \hline PA_2 (r=4) & 8 & 12 & 16 & \dots & \mathbf{48} \\ \hline \end{array} $$

Resultado:
$$ \boxed{48} $$