1. Datos y definición de la relación:
La relación del tercer término ($a_3$) al cuarto ($a_4$) es 3:
$$ \frac{a_3}{a_4} = 3 \implies a_3 = 3a_4 $$

2. Expresión en función de $a_1$ y $d$:
Sabemos que $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Entonces:
$$ a_1 + 2d = 3(a_1 + 3d) $$
$$ a_1 + 2d = 3a_1 + 9d $$
Despejamos $a_1$ en función de $d$:
$$ 2d - 9d = 3a_1 - a_1 $$
$$ -7d = 2a_1 \implies a_1 = -\frac{7}{2}d $$

3. Condición de suma nula ($S_n = 0$):
Usamos la fórmula de la suma:
$$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] = 0 $$
Como el número de términos $n$ no puede ser cero, el factor dentro del corchete debe serlo:
$$ 2a_1 + (n - 1)d = 0 $$

4. Sustitución y resolución de $n$:
Sustituimos el valor de $a_1$:
$$ 2\left( -\frac{7}{2}d \right) + (n - 1)d = 0 $$
$$ -7d + (n - 1)d = 0 $$
$$ d[-7 + n - 1] = 0 $$
$$ n - 8 = 0 \implies n = 8 $$

Análisis conceptual:
Para que una suma sea nula en una P.A., los términos deben ser simétricos respecto al cero. Al ser $n=8$ (par), no hay un término central cero, sino que los pares de términos se anulan entre sí (ej. $a_1 = -a_8$).

$$ \boxed{8} $$