1. Representación de datos:
Sea $x$ la longitud de la arista del cubo.
$$ \begin{array}{l} \text{Arista (A)} = x \\ \text{Área Total (S)} = 6x^2 \\ \text{Volumen (V)} = x^3 \end{array} $$

Representación visual de los datos:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Elemento} & \text{Fórmula} \\ \hline \text{Término 1} & x \\ \text{Término 2} & 6x^2 \\ \text{Término 3} & x^3 \\ \hline \end{array} $$

2. Planteamiento de la condición de P.A.:
Como los términos $x, 6x^2, x^3$ están en progresión aritmética:
$$ 2(6x^2) = x + x^3 $$
$$ 12x^2 = x + x^3 $$

3. Resolución de la ecuación:
Agrupamos todos los términos en un miembro:
$$ x^3 - 12x^2 + x = 0 $$
Factorizamos $x$:
$$ x(x^2 - 12x + 1) = 0 $$

Dado que $x$ representa una longitud, $x > 0$. Por lo tanto, resolvemos la ecuación cuadrática:
$$ x^2 - 12x + 1 = 0 $$

Usamos la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$$ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} $$
$$ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2} $$
$$ x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2} $$

Simplificamos la raíz: $\sqrt{140} = \sqrt{4 \cdot 35} = 2\sqrt{35}$
$$ x = \frac{12 \pm 2\sqrt{35}}{2} $$
$$ x = 6 \pm \sqrt{35} $$

Resultado:
Ambos valores son positivos ($6 > \sqrt{35}$), por lo que ambos son soluciones válidas:
$$ \boxed{x = 6 \pm \sqrt{35}} $$