1. Propiedad de la Progresión Aritmética:
Si tres términos $a, b, c$ están en P.A., se cumple que:
$$ 2b = a + c $$

2. Planteamiento de la ecuación:
Aplicamos la propiedad a los términos dados:
$$ 2 \log(3^x - 1) = \log 2 + \log(3^x + 3) $$

3. Aplicación de propiedades de logaritmos:
Utilizamos $\log(a^n) = n\log a$ y $\log a + \log b = \log(ab)$:
$$ \log(3^x - 1)^2 = \log[2(3^x + 3)] $$

Al igualar los argumentos:
$$ (3^x - 1)^2 = 2(3^x + 3) $$

4. Cambio de variable:
Sea $u = 3^x$. Sustituimos en la ecuación:
$$ (u - 1)^2 = 2(u + 3) $$
$$ u^2 - 2u + 1 = 2u + 6 $$
$$ u^2 - 4u - 5 = 0 $$

5. Resolución de la ecuación cuadrática:
Factorizamos el trinomio:
$$ (u - 5)(u + 1) = 0 $$
Obtenemos dos soluciones para $u$:
$$ u_1 = 5, \quad u_2 = -1 $$

6. Análisis de resultados:
Regresamos a la variable original $3^x$:

• Para $u = 5 \Rightarrow 3^x = 5 \Rightarrow \mathbf{x = \log_3 5}$


• Para $u = -1 \Rightarrow 3^x = -1$ (No tiene solución real, ya que $3^x > 0$ siempre).

Además, verificamos la existencia de los logaritmos:
Si $3^x = 5$, entonces $3^x - 1 = 4 > 0$ y $3^x + 3 = 8 > 0$. Los términos son:
$$ \log 2; \log 4; \log 8 \quad \Rightarrow \quad \log 2; 2\log 2; 3\log 2 \quad (\text{Es P.A. con } d = \log 2) $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = \log_3 5} $$