1. Identificación de fórmulas:
Para una progresión aritmética (P.A.) con primer término $a_1$ y diferencia común $d$, la suma de los $n$ primeros términos viene dada por:
$$ S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a_1 + (n-1)d \right] $$

2. Simplificación de los términos $\frac{S_i}{n_i}$:
Dividimos la fórmula de la suma por $n$ para obtener la expresión requerida en el problema:
$$ \frac{S_n}{n} = \frac{1}{2} \left[ 2a_1 + (n-1)d \right] = a_1 + \frac{d}{2}(n-1) $$
Expandiendo y agrupando términos constantes:
$$ \frac{S_n}{n} = \left( a_1 - \frac{d}{2} \right) + n\left( \frac{d}{2} \right) $$

Sea $A = a_1 - \frac{d}{2}$ y $B = \frac{d}{2}$. Entonces, la expresión se simplifica a:
$$ \frac{S_n}{n} = A + nB $$

3. Sustitución en la expresión a demostrar:
Sustituimos la forma simplificada para $n_1, n_2$ y $n_3$:
$$ E = (A + n_1 B)(n_2 - n_3) + (A + n_2 B)(n_3 - n_1) + (A + n_3 B)(n_1 - n_2) $$

4. Desarrollo algebraico:
Expandimos los productos agrupando por las constantes $A$ y $B$:
$$ \begin{aligned} E &= A(n_2 - n_3 + n_3 - n_1 + n_1 - n_2) \\ &\quad + B(n_1(n_2 - n_3) + n_2(n_3 - n_1) + n_3(n_1 - n_2)) \end{aligned} $$

Analizamos el primer paréntesis (factor de $A$):
$$ n_2 - n_3 + n_3 - n_1 + n_1 - n_2 = 0 $$

Analizamos el segundo paréntesis (factor de $B$):
$$ n_1 n_2 - n_1 n_3 + n_2 n_3 - n_2 n_1 + n_3 n_1 - n_3 n_2 = 0 $$

5. Conclusión:
Como ambos términos se anulan:
$$ E = A(0) + B(0) = 0 $$
Queda demostrado que:
$$ \boxed{\frac{S_1}{n_1}(n_2 - n_3) + \frac{S_2}{n_2}(n_3 - n_1) + \frac{S_3}{n_3}(n_1 - n_2) = 0} $$