1. Definición de la progresión:
Si los términos $a, b, c, d$ están en progresión aritmética (P.A.), existe una razón común $r$ tal que:
$$ \begin{array}{l} b - a = r \\ c - b = r \\ d - c = r \end{array} $$
También podemos notar que la diferencia entre los extremos es:
$$ d - a = (d - c) + (c - b) + (b - a) = r + r + r = 3r $$

2. Racionalización de cada término del primer miembro:
Para cada fracción de la forma $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$, multiplicamos por su conjugada $\frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{\sqrt{y} - \sqrt{x}}$:
$$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{r} $$
Aplicando el mismo procedimiento a los demás términos:
$$ \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{r} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} = \frac{\sqrt{d} - \sqrt{c}}{d - c} = \frac{\sqrt{d} - \sqrt{c}}{r} $$

3. Suma de los términos racionalizados:
Sumamos las tres expresiones:
$$ S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{r} + \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{r} + \frac{\sqrt{d} - \sqrt{c}}{r} $$
$$ S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{c} - \sqrt{b} + \sqrt{d} - \sqrt{c}}{r} $$
Al simplificar los términos opuestos, obtenemos:
$$ S = \frac{\sqrt{d} - \sqrt{a}}{r} $$

4. Relación con el segundo miembro:
Sabemos que $d - a = 3r$, por lo tanto $r = \frac{d - a}{3}$. Sustituimos $r$ en la expresión:
$$ S = \frac{\sqrt{d} - \sqrt{a}}{\frac{d - a}{3}} = \frac{3(\sqrt{d} - \sqrt{a})}{d - a} $$
Recordando la diferencia de cuadrados $d - a = (\sqrt{d} - \sqrt{a})(\sqrt{d} + \sqrt{a})$:
$$ S = \frac{3(\sqrt{d} - \sqrt{a})}{(\sqrt{d} - \sqrt{a})(\sqrt{d} + \sqrt{a})} $$
Simplificando el factor $(\sqrt{d} - \sqrt{a})$:
$$ S = \frac{3}{\sqrt{d} + \sqrt{a}} $$

Resultado Final:
$$ \boxed{\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} = \frac{3}{\sqrt{a} + \sqrt{d}}} $$