Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula del término general de una progresión geométrica (P.G.):
$$ u_k = u_1 \cdot r^{k-1} $$
Donde $u_k$ es el término en la posición $k$, $u_1$ es el primer término y $r$ es la razón común.

1. Análisis de la primera progresión geométrica ($P.G._1$)

• Primer término ($u_1$): $a$
• Tercer término ($u_3$): $b$

Aplicamos la fórmula para el tercer término:
$$ b = a \cdot r_1^{3-1} \implies b = a \cdot r_1^2 $$
Despejamos la razón al cuadrado:
$$ r_1^2 = \frac{b}{a} $$

Ahora, calculamos el término de lugar $(n+1)$, al cual llamaremos $T_{n+1}$:
$$ T_{n+1} = a \cdot r_1^{(n+1)-1} = a \cdot r_1^n $$
Podemos expresar $r_1^n$ como $(r_1^2)^{n/2}$ para facilitar la comparación:
$$ T_{n+1} = a \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{2}} $$

2. Análisis de la segunda progresión geométrica ($P.G._2$)

• Primer término ($U_1$): $a$
• Quinto término ($U_5$): $b$

Aplicamos la fórmula para el quinto término:
$$ b = a \cdot r_2^{5-1} \implies b = a \cdot r_2^4 $$
Despejamos la razón a la cuarta potencia:
$$ r_2^4 = \frac{b}{a} $$

Ahora, calculamos el término de lugar $(2n+1)$, al cual llamaremos $S_{2n+1}$:
$$ S_{2n+1} = a \cdot r_2^{(2n+1)-1} = a \cdot r_2^{2n} $$
Expresamos $r_2^{2n}$ en términos de $r_2^4$:
$$ r_2^{2n} = (r_2^4)^{\frac{2n}{4}} = (r_2^4)^{\frac{n}{2}} $$
Sustituimos el valor de $r_2^4$:
$$ S_{2n+1} = a \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{2}} $$

3. Comparación y Gráfica Conceptual

Para visualizar la relación entre ambas progresiones, representamos sus términos clave:

$$ \begin{array}{c} \text{Comparación de Progresiones} \\ \hline \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Progresión} & \text{Término 1} & \text{Dato intermedio} & \text{Término buscado} \\ \hline P.G._1 & a & u_3 = b & T_{n+1} = a(\frac{b}{a})^{n/2} \\ \hline P.G._2 & a & U_5 = b & S_{2n+1} = a(\frac{b}{a})^{n/2} \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Al comparar los resultados obtenidos:
$$ \begin{aligned} T_{n+1} &= a \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{2}} \\ S_{2n+1} &= a \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{2}} \end{aligned} $$

Se observa que ambos valores son idénticos.

Conclusión:
$$ \boxed{T_{n+1} = S_{2n+1}} $$
Queda demostrado que el término de lugar $(n+1)$ de la primera progresión es igual al término de lugar $(2n+1)$ de la segunda.