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MATU • Algebra
MATU_PROG_141
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
El dinero que gasto comprando leche para mi hijo aumenta cada mes en progresión geométrica. Cada mes compro una lata de leche. Empecé a comprarlas cuando mi hijo cumplió $6$ meses, ahora tiene $11$ meses y hasta el momento he gastado solo comprando leche $1330 \text{ Bs.}$ La primera lata me costó $1/25$ de mi sueldo; y luego de haber comprado las dos primeras latas había gastado ya un $10\%$ de mi sueldo de un mes. ¿Cuánto gano mensualmente?
El dinero que gasto comprando leche para mi hijo aumenta cada mes en progresión geométrica. Cada mes compro una lata de leche. Empecé a comprarlas cuando mi hijo cumplió $6$ meses, ahora tiene $11$ meses y hasta el momento he gastado solo comprando leche $1330 \text{ Bs.}$ La primera lata me costó $1/25$ de mi sueldo; y luego de haber comprado las dos primeras latas había gastado ya un $10\%$ de mi sueldo de un mes. ¿Cuánto gano mensualmente?
Solución Paso a Paso
1. Análisis del tiempo y número de términos:
El gasto ocurre desde los $6$ meses hasta los $11$ meses de edad inclusive.
$$ n = 11 - 6 + 1 = 6 \text{ meses (y 6 latas)} $$
2. Relación de costos con el sueldo ($S$):
Calculamos el costo de la segunda lata ($a_2$):
$$ a_2 = 0.10S - 0.04S = 0.06S $$
3. Cálculo de la razón ($r$):
$$ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{0.06S}{0.04S} = 1.5 $$
Representación de los gastos mensuales:
$$ \begin{array}{cccccc} \text{Mes 6} & \text{Mes 7} & \text{Mes 8} & \text{Mes 9} & \text{Mes 10} & \text{Mes 11} \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ a_1 & a_1 r & a_1 r^2 & a_1 r^3 & a_1 r^4 & a_1 r^5 \\ 0.04S & 0.06S & 0.09S & \dots & \dots & \dots \end{array} $$
4. Cálculo de la suma total ($S_6$):
Sabemos que la suma total es $1330 \text{ Bs.}$ Aplicamos la fórmula de la suma de una P.G.:
$$ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \implies 1330 = \frac{0.04S(1.5^6 - 1)}{1.5 - 1} $$
Calculamos $1.5^6$:
$$ 1.5^6 = (1.5^2)^3 = (2.25)^3 = 11.390625 $$
Sustituimos:
$$ 1330 = \frac{0.04S(11.390625 - 1)}{0.5} $$
$$ 1330 = 0.08S(10.390625) $$
$$ 1330 = 0.83125S $$
5. Despeje del sueldo mensual:
$$ S = \frac{1330}{0.83125} = 1600 \text{ Bs.} $$
Conclusión:
$$ \boxed{\text{Gano mensualmente: } 1600 \text{ Bs.}} $$
El gasto ocurre desde los $6$ meses hasta los $11$ meses de edad inclusive.
$$ n = 11 - 6 + 1 = 6 \text{ meses (y 6 latas)} $$
2. Relación de costos con el sueldo ($S$):
- Costo de la primera lata ($a_1$): $a_1 = \frac{1}{25}S = 0.04S$
- Gasto acumulado de las dos primeras latas: $a_1 + a_2 = 0.10S$
Calculamos el costo de la segunda lata ($a_2$):
$$ a_2 = 0.10S - 0.04S = 0.06S $$
3. Cálculo de la razón ($r$):
$$ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{0.06S}{0.04S} = 1.5 $$
Representación de los gastos mensuales:
$$ \begin{array}{cccccc} \text{Mes 6} & \text{Mes 7} & \text{Mes 8} & \text{Mes 9} & \text{Mes 10} & \text{Mes 11} \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ a_1 & a_1 r & a_1 r^2 & a_1 r^3 & a_1 r^4 & a_1 r^5 \\ 0.04S & 0.06S & 0.09S & \dots & \dots & \dots \end{array} $$
4. Cálculo de la suma total ($S_6$):
Sabemos que la suma total es $1330 \text{ Bs.}$ Aplicamos la fórmula de la suma de una P.G.:
$$ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \implies 1330 = \frac{0.04S(1.5^6 - 1)}{1.5 - 1} $$
Calculamos $1.5^6$:
$$ 1.5^6 = (1.5^2)^3 = (2.25)^3 = 11.390625 $$
Sustituimos:
$$ 1330 = \frac{0.04S(11.390625 - 1)}{0.5} $$
$$ 1330 = 0.08S(10.390625) $$
$$ 1330 = 0.83125S $$
5. Despeje del sueldo mensual:
$$ S = \frac{1330}{0.83125} = 1600 \text{ Bs.} $$
Conclusión:
$$ \boxed{\text{Gano mensualmente: } 1600 \text{ Bs.}} $$