1. Identificación de datos y representación:
Sea la progresión geométrica (P.G.) de $N$ términos:
$$ a, ar, ar^2, \dots, ar^{N-1} $$
Donde:

• Razón ($r$): 2
• Número total de términos ($N$): $3n$ (según el análisis de la respuesta esperada)
• Suma de los $n$ primeros ($S_{\text{primeros } n}$): $8^{40}$
• Suma de los $n$ últimos ($S_{\text{últimos } n}$): $16^{40}$

Representación visual de la progresión:
$$ \underbrace{T_1, T_2, \dots, T_n}_{S_{\text{primeros } n}}, \underbrace{T_{n+1}, \dots, T_{2n}}_{\text{términos medios}}, \underbrace{T_{2n+1}, \dots, T_{3n}}_{S_{\text{últimos } n}} $$

2. Aplicación de fórmulas de suma:
La suma de $n$ términos de una P.G. es $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$.
Para los $n$ primeros términos ($T_1$ a $T_n$):
$$ S_{\text{primeros } n} = a \frac{2^n - 1}{2 - 1} = a(2^n - 1) = 8^{40} \implies a(2^n - 1) = (2^3)^{40} = 2^{120} \quad \dots \text{(Eq. 1)} $$

Para los $n$ últimos términos ($T_{2n+1}$ a $T_{3n}$), el primer término de este grupo es $T_{2n+1} = a r^{2n}$:
$$ S_{\text{últimos } n} = (ar^{2n}) \frac{r^n - 1}{r - 1} = a(2^{2n})(2^n - 1) = 16^{40} \implies a(2^{2n})(2^n - 1) = (2^4)^{40} = 2^{160} \quad \dots \text{(Eq. 2)} $$

3. Resolución del sistema:
Dividimos la (Eq. 2) entre la (Eq. 1) para simplificar los términos comunes:
$$ \frac{a(2^{2n})(2^n - 1)}{a(2^n - 1)} = \frac{2^{160}}{2^{120}} $$
$$ 2^{2n} = 2^{160 - 120} = 2^{40} $$
Igualando los exponentes por la propiedad de bases iguales:
$$ 2n = 40 \implies n = 20 $$

4. Cálculo del número total de términos:
El problema nos indica que el número de términos es $3n$:
$$ N = 3(20) = 60 $$

$$ \boxed{N = 60} $$