Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_132
3er Ex. I-2001
Enunciado
Problema 262. (3er Ex. I-2001)
Un campesino del Chapare tiene en su jardín una cantidad de manzanas para la venta, al primer comprador le vendió la mitad de las manzanas más media manzana, al segundo le vendió la mitad de las restantes más media manzana, al tercero le vendió la mitad de las que quedaban más media manzana, y así sucesivamente. El séptimo comprador, adquirió la mitad de lo que le quedaba más media manzana, agotando con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino en su jardín?
Resp. 127 manzanas.
Un campesino del Chapare tiene en su jardín una cantidad de manzanas para la venta, al primer comprador le vendió la mitad de las manzanas más media manzana, al segundo le vendió la mitad de las restantes más media manzana, al tercero le vendió la mitad de las que quedaban más media manzana, y así sucesivamente. El séptimo comprador, adquirió la mitad de lo que le quedaba más media manzana, agotando con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino en su jardín?
Resp. 127 manzanas.
Solución Paso a Paso
1. Planteamiento del problema:
Sea $x_k$ la cantidad de manzanas que quedan después de la venta al comprador $k$.
Sea $x_0$ la cantidad inicial de manzanas.
La regla de venta para cada comprador es:
$$ \text{Venta}_k = \frac{1}{2} (\text{lo que había}) + \frac{1}{2} $$
Lo que queda después de la venta $k$ es:
$$ x_k = x_{k-1} - \left( \frac{x_{k-1}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{x_{k-1} - 1}{2} $$
2. Análisis hacia atrás (Método del Cangrejo):
Sabemos que después del séptimo comprador ($k=7$), no quedan manzanas:
$$ x_7 = 0 $$
Podemos despejar $x_{k-1}$ de la fórmula anterior para retroceder en el tiempo:
$$ x_{k-1} = 2x_k + 1 $$
3. Desarrollo paso a paso:
Calculamos la cantidad de manzanas antes de cada comprador de forma regresiva:
$$ \begin{array}{lcl} \text{Antes del 7mo comprador:} & x_6 = 2(0) + 1 & = 1 \\ \text{Antes del 6to comprador:} & x_5 = 2(1) + 1 & = 3 \\ \text{Antes del 5to comprador:} & x_4 = 2(3) + 1 & = 7 \\ \text{Antes del 4to comprador:} & x_3 = 2(7) + 1 & = 15 \\ \text{Antes del 3er comprador:} & x_2 = 2(15) + 1 & = 31 \\ \text{Antes del 2do comprador:} & x_1 = 2(31) + 1 & = 63 \\ \text{Antes del 1er comprador (Inicial):} & x_0 = 2(63) + 1 & = 127 \\ \end{array} $$
4. Conclusión:
El campesino inició con 127 manzanas en su jardín.
$$ \boxed{127 \text{ manzanas}} $$
Sea $x_k$ la cantidad de manzanas que quedan después de la venta al comprador $k$.
Sea $x_0$ la cantidad inicial de manzanas.
La regla de venta para cada comprador es:
$$ \text{Venta}_k = \frac{1}{2} (\text{lo que había}) + \frac{1}{2} $$
Lo que queda después de la venta $k$ es:
$$ x_k = x_{k-1} - \left( \frac{x_{k-1}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{x_{k-1} - 1}{2} $$
2. Análisis hacia atrás (Método del Cangrejo):
Sabemos que después del séptimo comprador ($k=7$), no quedan manzanas:
$$ x_7 = 0 $$
Podemos despejar $x_{k-1}$ de la fórmula anterior para retroceder en el tiempo:
$$ x_{k-1} = 2x_k + 1 $$
3. Desarrollo paso a paso:
Calculamos la cantidad de manzanas antes de cada comprador de forma regresiva:
$$ \begin{array}{lcl} \text{Antes del 7mo comprador:} & x_6 = 2(0) + 1 & = 1 \\ \text{Antes del 6to comprador:} & x_5 = 2(1) + 1 & = 3 \\ \text{Antes del 5to comprador:} & x_4 = 2(3) + 1 & = 7 \\ \text{Antes del 4to comprador:} & x_3 = 2(7) + 1 & = 15 \\ \text{Antes del 3er comprador:} & x_2 = 2(15) + 1 & = 31 \\ \text{Antes del 2do comprador:} & x_1 = 2(31) + 1 & = 63 \\ \text{Antes del 1er comprador (Inicial):} & x_0 = 2(63) + 1 & = 127 \\ \end{array} $$
4. Conclusión:
El campesino inició con 127 manzanas en su jardín.
$$ \boxed{127 \text{ manzanas}} $$