Datos del problema:

• Número de términos: $n = 6$.
• Términos de la progresión: $t_1, t_2, t_3, t_4, t_5, t_6$.
• Definición de términos: $t_k = t_1 \cdot r^{k-1}$.
• Suma de lugares impares ($S_{impar}$): $t_1 + t_3 + t_5 = 1365$.
• Suma de lugares pares ($S_{par}$): $t_2 + t_4 + t_6 = 5460$.

Propiedades utilizadas:
En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón $r$.

Desarrollo paso a paso:

1. Escribimos las sumas en términos del primer término $t_1$ y la razón $r$:
$$ \begin{array}{l} S_{impar} = t_1 + t_1r^2 + t_1r^4 = 1365 \quad \text{--- (Ecuación 1)} \\ S_{par} = t_1r + t_1r^3 + t_1r^5 = 5460 \quad \text{--- (Ecuación 2)} \end{array} $$

2. Observamos que en la Ecuación 2 podemos extraer la razón $r$ como factor común:
$$ r(t_1 + t_1r^2 + t_1r^4) = 5460 $$

3. Notamos que la expresión dentro del paréntesis es exactamente igual a la Ecuación 1:
$$ r(S_{impar}) = 5460 $$

4. Sustituimos el valor de $S_{impar} = 1365$:
$$ r(1365) = 5460 $$

5. Despejamos $r$:
$$ r = \frac{5460}{1365} = 4 $$

Resultado:
La razón de la progresión es 4.
$$ \boxed{r = 4} $$