1. Definición de la P.G.:
Sean los tres términos positivos: $a_1, a_2, a_3$.
Como es una P.G., se cumple que $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$ (propiedad del término central).
También podemos expresarlos como: $a_1, a_1 r, a_1 r^2$.

2. Planteamiento de ecuaciones:
Según el enunciado:
1) Producto de los dos primeros: $a_1 \cdot a_2 = 24$
2) Producto de los dos últimos: $a_2 \cdot a_3 = 54$

3. Resolución del sistema:
Multiplicamos ambas ecuaciones:
$$ (a_1 \cdot a_2) \cdot (a_2 \cdot a_3) = 24 \cdot 54 $$
$$ a_1 \cdot a_2^2 \cdot a_3 = 1296 $$
Sustituimos la propiedad $a_1 \cdot a_3 = a_2^2$:
$$ a_2^2 \cdot a_2^2 = 1296 \implies a_2^4 = 1296 $$

4. Cálculo del término central ($a_2$):
Extraemos la raíz cuarta (considerando solo el valor positivo por enunciado):
$$ a_2 = \sqrt[4]{1296} $$
Sabiendo que $1296 = 6^4$:
$$ a_2 = 6 $$

Estructura de la progresión:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline a_1 & a_2 (\text{Central}) & a_3 \\ \hline 4 & 6 & 9 \\ \hline \end{array} $$
$$ \text{Producto } a_1 a_2 = 4 \cdot 6 = 24 \quad | \quad \text{Producto } a_2 a_3 = 6 \cdot 9 = 54 $$

El término central es:
$$ \boxed{a_2 = 6} $$