1. Datos y definiciones:
En una progresión geométrica (P.G.), el término general es $t_n = t_1 \cdot r^{n-1}$.
Llamemos $S_5 = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5$ a la primera suma. Sabemos que $S_5 = 31$.

2. Análisis del sistema:
Observemos la segunda ecuación:
$$ t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 = 62 $$
Podemos expresar cada término en función del anterior multiplicando por la razón $r$:
$$ (t_1 \cdot r) + (t_2 \cdot r) + (t_3 \cdot r) + (t_4 \cdot r) + (t_5 \cdot r) = 62 $$
Factorizando $r$:
$$ r(t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5) = 62 $$
Sustituimos el valor de la primera ecuación ($31$):
$$ r(31) = 62 \implies r = \frac{62}{31} \implies r = 2 $$

3. Hallar el primer término ($t_1$):
Usamos la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos: $S_n = t_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$.
Para $n=5$ y $S_5 = 31$:
$$ 31 = t_1 \frac{2^5 - 1}{2 - 1} \implies 31 = t_1 \frac{32 - 1}{1} \implies 31 = 31t_1 \implies t_1 = 1 $$

4. Construcción de la P.G.:
Con $t_1 = 1$ y $r = 2$, los términos son:
$t_1 = 1$
$t_2 = 1 \cdot 2 = 2$
$t_3 = 2 \cdot 2 = 4$
$t_4 = 4 \cdot 2 = 8$
$t_5 = 8 \cdot 2 = 16$

Representación visual de la progresión:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline t_n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \\ \hline \text{Operación} & & \times 2 & \times 2 & \times 2 & \times 2 & \times 2 \\ \hline \end{array} $$

El resultado final de la progresión es:
$$ \boxed{P.G.: 1, 2, 4, 8, 16, \dots} $$