1. Análisis de la serie:
La serie presenta un patrón repetitivo en los numeradores (1, 2, 1, 2, ...). Para resolverla de manera sencilla, podemos separarla en dos series geométricas infinitas independientes.

2. Descomposición en dos series:
$$ S = \underbrace{\left( \frac{1}{7} + \frac{1}{7^3} + \frac{1}{7^5} + \dots \right)}_{S_1} + \underbrace{\left( \frac{2}{7^2} + \frac{2}{7^4} + \frac{2}{7^6} + \dots \right)}_{S_2} $$

3. Cálculo de $S_1$:
Es una progresión geométrica infinita con:

• Primer término ($a_1$): $\frac{1}{7}$
• Razón ($r$): $\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Usamos la fórmula de la suma infinita $S = \frac{a_1}{1 - r}$:
$$ S_1 = \frac{\frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{48}{49}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{49}{48} = \frac{7}{48} $$

4. Cálculo de $S_2$:
Es una progresión geométrica infinita con:

• Primer término ($a_2$): $\frac{2}{7^2} = \frac{2}{49}$
• Razón ($r$): $\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

$$ S_2 = \frac{\frac{2}{49}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\frac{2}{49}}{\frac{48}{49}} = \frac{2}{49} \cdot \frac{49}{48} = \frac{2}{48} $$

5. Suma total:
$$ S = S_1 + S_2 = \frac{7}{48} + \frac{2}{48} = \frac{9}{48} $$
Simplificando entre 3:
$$ \boxed{S = \frac{3}{16}} $$