1. Datos del problema:

Sea la progresión geométrica: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n-1}, a_n$.
Donde:

• Suma de los primeros $(n-1)$ términos: $S_{prim} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = 396$
• Suma de los últimos $(n-1)$ términos: $S_{ult} = a_2 + a_3 + \dots + a_n = 1188$

2. Representación de los términos:

Sabemos que en una $PG$, cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón $q$:
$$ \begin{array}{l} a_2 = a_1 q \\ a_3 = a_2 q \\ \vdots \\ a_n = a_{n-1} q \end{array} $$

3. Relación entre las sumas:

Expresamos la suma de los últimos términos en función de los primeros:
$$ S_{ult} = a_2 + a_3 + \dots + a_n = (a_1 q) + (a_2 q) + \dots + (a_{n-1} q) $$
Factorizando el valor de $q$:
$$ S_{ult} = q \cdot \underbrace{(a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1})}_{S_{prim}} $$

4. Cálculo de la razón:

Sustituimos los valores conocidos:
$$ 1188 = q \cdot (396) $$
Despejamos $q$:
$$ q = \frac{1188}{396} $$
Efectuando la división:
$$ q = 3 $$

Resultado final:
$$ \boxed{q = 3} $$