1. Identificación de datos:

Sean las dos progresiones geométricas ($PG$):

• PG 1: Primer término $a_1 = 3$, último término $u_1 = 768$, razón $q_1$.
• PG 2: Primer término $a_2 = 7$, último término $u_2 = 112$, razón $q_2$.
• Se interpolan $m$ medios geométricos en ambas, por lo tanto, el número total de términos es $n = m + 2$.
• Condición de las razones: $q_1 = 2q_2$.

2. Representación visual de la interpolación:

$$ \begin{array}{l} \text{PG 1: } \underbrace{3}_{a_1}, \underbrace{x_1, x_2, \dots, x_m}_{m \text{ medios}}, \underbrace{768}_{u_1} \implies n = m+2 \text{ términos} \\ \text{PG 2: } \underbrace{7}_{a_2}, \underbrace{y_1, y_2, \dots, y_m}_{m \text{ medios}}, \underbrace{112}_{u_2} \implies n = m+2 \text{ términos} \end{array} $$

3. Aplicación de la fórmula del término enésimo ($u = a \cdot q^{n-1}$):

Para la PG 1:
$$ 768 = 3 \cdot q_1^{n-1} \implies \frac{768}{3} = q_1^{n-1} \implies 256 = q_1^{n-1} \quad \text{--- (Ec. 1)} $$

Para la PG 2:
$$ 112 = 7 \cdot q_2^{n-1} \implies \frac{112}{7} = q_2^{n-1} \implies 16 = q_2^{n-1} \quad \text{--- (Ec. 2)} $$

4. Relación entre las progresiones:

Sustituimos la condición $q_1 = 2q_2$ en la (Ec. 1):
$$ (2q_2)^{n-1} = 256 \implies 2^{n-1} \cdot q_2^{n-1} = 256 $$
Sustituimos el valor de $q_2^{n-1}$ obtenido en la (Ec. 2):
$$ 2^{n-1} \cdot 16 = 256 \implies 2^{n-1} = \frac{256}{16} \implies 2^{n-1} = 16 $$
Como $16 = 2^4$, igualamos exponentes:
$$ n - 1 = 4 \implies n = 5 $$

5. Cálculo de las razones:

Sustituimos $n-1 = 4$ en la (Ec. 2):
$$ q_2^4 = 16 \implies q_2 = \sqrt[4]{16} \implies q_2 = \pm 2 $$
Usando la relación $q_1 = 2q_2$:

• Si $q_2 = 2 \implies q_1 = 2(2) = 4$
• Si $q_2 = -2 \implies q_1 = 2(-2) = -4$

Conclusión:
$$ \boxed{q_1 = 4; q_2 = 2 \quad \text{y} \quad q_1 = -4; q_2 = -2} $$