1. Identificación de la fórmula de la suma

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica se define como:
$$ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
Donde $a_1$ es el primer término, $q$ la razón y $n$ el número de términos.

2. Planteamiento de la igualdad

Se nos da $n=5$ y $S_5 = (b^2+1)(b+1)$. Expandiendo el producto:
$$ S_5 = b^3 + b^2 + b + 1 $$
Esta expresión es una serie geométrica finita de razón $b$, la cual se puede compactar como:
$$ b^3 + b^2 + b + 1 = \frac{b^4 - 1}{b - 1} $$
Por lo tanto, igualamos la fórmula general con el dato:
$$ a_1 \frac{q^5 - 1}{q - 1} = \frac{b^4 - 1}{b - 1} $$

3. Determinación de la razón y el primer término

$$ a_1 \frac{b^5 - 1}{b - 1} = \frac{b^4 - 1}{b - 1} $$
Dado que $b \neq 1$, podemos simplificar los denominadores $(b-1)$:
$$ a_1 (b^5 - 1) = b^4 - 1 $$
Despejando el primer término $a_1$:
$$ a_1 = \frac{b^4 - 1}{b^5 - 1} $$

$$ \boxed{a_1 = \frac{b^4 - 1}{b^5 - 1}} $$