Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_111
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Tres hermanos cuyas edades forman una progresión geométrica, se reparten entre sí una suma de dinero, directamente proporcional a su edad. Si lo hacen dentro de 3 años, cuando el mayor tenga el doble de edad que el menor, entonces el menor habrá recibido 105 Bs y el mediano 15 Bs más que ahora. ¿Cuántos años tiene actualmente el mayor? Resp. 27 años.
Tres hermanos cuyas edades forman una progresión geométrica, se reparten entre sí una suma de dinero, directamente proporcional a su edad. Si lo hacen dentro de 3 años, cuando el mayor tenga el doble de edad que el menor, entonces el menor habrá recibido 105 Bs y el mediano 15 Bs más que ahora. ¿Cuántos años tiene actualmente el mayor? Resp. 27 años.
Solución Paso a Paso
1. Definición de variables y datos del problema
Sean las edades actuales de los tres hermanos en progresión geométrica (P.G.):
$$ \begin{array}{l} \text{Menor: } a \\ \text{Mediano: } aq \\ \text{Mayor: } aq^2 \end{array} $$
Donde $q$ es la razón de la progresión.
2. Condición en el futuro (dentro de 3 años)
Dentro de 3 años, las edades serán: $a+3$, $aq+3$ y $aq^2+3$. El enunciado indica que el mayor tendrá el doble que el menor:
$$ aq^2 + 3 = 2(a + 3) \implies aq^2 + 3 = 2a + 6 $$
$$ aq^2 - 2a = 3 \implies a(q^2 - 2) = 3 \quad \text{--- (Ecuación 1)} $$
3. Análisis del reparto de dinero
El dinero $M$ se reparte proporcionalmente a las edades. La parte que recibe cada uno es:
$$ x_i = M \cdot \frac{\text{Edad}_i}{\text{Suma de edades}} $$
Sean $S = a + aq + aq^2$ la suma actual y $S' = (a+3) + (aq+3) + (aq^2+3) = S + 9$ la suma en 3 años.
El cambio en lo recibido por el menor ($x_1$) y el mediano ($x_2$) es:
$$ \begin{cases} M \left( \frac{a+3}{S+9} \right) - M \left( \frac{a}{S} \right) = 105 \\ M \left( \frac{aq+3}{S+9} \right) - M \left( \frac{aq}{S} \right) = 15 \end{cases} $$
4. Resolución del sistema
De la Ecuación 1: $a = \frac{3}{q^2 - 2}$.
Probamos valores para $q$ que resulten en edades coherentes. Si $q = 1.5 = \frac{3}{2}$:
$$ a = \frac{3}{(\frac{3}{2})^2 - 2} = \frac{3}{\frac{9}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 12 $$
Las edades actuales serían: $12, 18, 27$.
Verificamos con los montos de dinero:
$$ S = 12 + 18 + 27 = 57, \quad S' = 57 + 9 = 66 $$
Para el mediano:
$$ M \left( \frac{18+3}{66} - \frac{18}{57} \right) = M \left( \frac{21}{66} - \frac{18}{57} \right) = M \left( \frac{7}{22} - \frac{6}{19} \right) = M \left( \frac{133 - 132}{418} \right) = \frac{M}{418} = 15 $$
$$ M = 15 \cdot 418 = 6270 \text{ Bs} $$
Para el menor:
$$ 6270 \left( \frac{15}{66} - \frac{12}{57} \right) = 6270 \left( \frac{5}{22} - \frac{4}{19} \right) = 6270 \left( \frac{95 - 88}{418} \right) = 6270 \cdot \frac{7}{418} = 15 \cdot 7 = 105 $$
Ambas condiciones se cumplen. La edad actual del mayor es $aq^2$.
$$ \text{Edad mayor} = 12 \cdot (1.5)^2 = 12 \cdot 2.25 = 27 $$
$$ \boxed{\text{El hermano mayor tiene 27 años}} $$
Sean las edades actuales de los tres hermanos en progresión geométrica (P.G.):
$$ \begin{array}{l} \text{Menor: } a \\ \text{Mediano: } aq \\ \text{Mayor: } aq^2 \end{array} $$
Donde $q$ es la razón de la progresión.
2. Condición en el futuro (dentro de 3 años)
Dentro de 3 años, las edades serán: $a+3$, $aq+3$ y $aq^2+3$. El enunciado indica que el mayor tendrá el doble que el menor:
$$ aq^2 + 3 = 2(a + 3) \implies aq^2 + 3 = 2a + 6 $$
$$ aq^2 - 2a = 3 \implies a(q^2 - 2) = 3 \quad \text{--- (Ecuación 1)} $$
3. Análisis del reparto de dinero
El dinero $M$ se reparte proporcionalmente a las edades. La parte que recibe cada uno es:
$$ x_i = M \cdot \frac{\text{Edad}_i}{\text{Suma de edades}} $$
Sean $S = a + aq + aq^2$ la suma actual y $S' = (a+3) + (aq+3) + (aq^2+3) = S + 9$ la suma en 3 años.
El cambio en lo recibido por el menor ($x_1$) y el mediano ($x_2$) es:
$$ \begin{cases} M \left( \frac{a+3}{S+9} \right) - M \left( \frac{a}{S} \right) = 105 \\ M \left( \frac{aq+3}{S+9} \right) - M \left( \frac{aq}{S} \right) = 15 \end{cases} $$
4. Resolución del sistema
De la Ecuación 1: $a = \frac{3}{q^2 - 2}$.
Probamos valores para $q$ que resulten en edades coherentes. Si $q = 1.5 = \frac{3}{2}$:
$$ a = \frac{3}{(\frac{3}{2})^2 - 2} = \frac{3}{\frac{9}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 12 $$
Las edades actuales serían: $12, 18, 27$.
Verificamos con los montos de dinero:
$$ S = 12 + 18 + 27 = 57, \quad S' = 57 + 9 = 66 $$
Para el mediano:
$$ M \left( \frac{18+3}{66} - \frac{18}{57} \right) = M \left( \frac{21}{66} - \frac{18}{57} \right) = M \left( \frac{7}{22} - \frac{6}{19} \right) = M \left( \frac{133 - 132}{418} \right) = \frac{M}{418} = 15 $$
$$ M = 15 \cdot 418 = 6270 \text{ Bs} $$
Para el menor:
$$ 6270 \left( \frac{15}{66} - \frac{12}{57} \right) = 6270 \left( \frac{5}{22} - \frac{4}{19} \right) = 6270 \left( \frac{95 - 88}{418} \right) = 6270 \cdot \frac{7}{418} = 15 \cdot 7 = 105 $$
Ambas condiciones se cumplen. La edad actual del mayor es $aq^2$.
$$ \text{Edad mayor} = 12 \cdot (1.5)^2 = 12 \cdot 2.25 = 27 $$
$$ \boxed{\text{El hermano mayor tiene 27 años}} $$