Datos y definiciones:

• Sea $a$ el primer término y $q$ la razón ($0 < q < 1$).
• Suma infinita: $S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$
• Suma de los $n$ primeros términos: $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$

Planteamiento de la ecuación:
Según el enunciado:
$$ S_{\infty} = m \cdot S_n $$

Sustituyendo las fórmulas:
$$ \frac{a}{1 - q} = m \left[ \frac{a(1 - q^n)}{1 - q} \right] $$

Desarrollo:
$$ 1 = m (1 - q^n) $$

2. Despejamos el término que contiene la razón:
$$ \frac{1}{m} = 1 - q^n $$
$$ q^n = 1 - \frac{1}{m} $$

3. Operamos la fracción en el lado derecho:
$$ q^n = \frac{m - 1}{m} $$

4. Despejamos $q$ aplicando raíz enésima:
$$ q = \sqrt[n]{\frac{m - 1}{m}} $$
O expresado de forma exponencial:
$$ q = \left( \frac{m - 1}{m} \right)^{\frac{1}{n}} $$

Resultado final:
$$ \boxed{q = \left( \frac{m - 1}{m} \right)^{\frac{1}{n}}} $$