Datos del problema:

• Suma de la P.G. infinita: $S_{\infty} = 15$
• Suma de los cuadrados de los términos: $S_{\text{cuad}} = 45$

Fórmulas utilizadas:
Para una P.G. infinita con primer término $a$ y razón $|q| < 1$:
$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - q} $$
Si elevamos cada término al cuadrado, la nueva progresión tiene primer término $a^2$ y razón $q^2$:
$$ S_{\text{cuad}} = \frac{a^2}{1 - q^2} $$

Desarrollo:
1. De la primera condición:
$$ \frac{a}{1 - q} = 15 \implies a = 15(1 - q) \quad \dots \text{(Ec. 1)} $$

2. De la segunda condición:
$$ \frac{a^2}{1 - q^2} = 45 \implies a^2 = 45(1 - q^2) \quad \dots \text{(Ec. 2)} $$

3. Sustituimos la (Ec. 1) en la (Ec. 2):
$$ [15(1 - q)]^2 = 45(1 - q^2) $$
$$ 225(1 - q)^2 = 45(1 - q)(1 + q) $$

4. Como la progresión es decreciente e infinita, $q \neq 1$, por lo tanto $(1 - q) \neq 0$. Podemos simplificar:
$$ \frac{225}{45} (1 - q) = 1 + q $$
$$ 5(1 - q) = 1 + q $$
$$ 5 - 5q = 1 + q $$
$$ 5 - 1 = 5q + q $$
$$ 4 = 6q $$
$$ q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Resultado final:
$$ \boxed{q = \frac{2}{3}} $$