1. Datos y fórmulas fundamentales:
En una progresión aritmética (P.A.):
$$a_k = a_1 + (k-1)d$$
La suma de los primeros $n$ términos es:
$$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

2. Planteamiento de ecuaciones:
Basado en el algoritmo de la división $D = dq + R$:

• División 1: $\frac{a_9}{a_2} = 5$ (cociente 5, resto 0):
  $$a_9 = 5 a_2$$
  $$(a_1 + 8d) = 5(a_1 + d)$$
  $$a_1 + 8d = 5a_1 + 5d \implies 3d = 4a_1 \dots \text{(Eq. 1)}$$
• División 2: $\frac{a_{13}}{a_6} = 2$ con resto 5:
  $$a_{13} = 2 a_6 + 5$$
  $$(a_1 + 12d) = 2(a_1 + 5d) + 5$$
  $$a_1 + 12d = 2a_1 + 10d + 5 \implies 2d - a_1 = 5 \dots \text{(Eq. 2)}$$

3. Resolución del sistema de ecuaciones:
De la (Eq. 1) despejamos $a_1$:
$$a_1 = \frac{3}{4}d$$
Sustituimos en la (Eq. 2):
$$2d - \frac{3}{4}d = 5$$
Multiplicamos todo por 4:
$$8d - 3d = 20 \implies 5d = 20 \implies d = 4$$
Calculamos $a_1$:
$$a_1 = \frac{3}{4}(4) = 3$$

Resumen de constantes halladas:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Primer término (} a_1 \text{)} & 3 \\ \hline \text{Diferencia común (} d \text{)} & 4 \\ \hline \end{array} $$

4. Cálculo de la suma de los 20 primeros términos ($S_{20}$):
Sustituimos en la fórmula de la suma con $n=20$:
$$S_{20} = \frac{20}{2} [2(3) + (20-1)4]$$
$$S_{20} = 10 [6 + (19 \times 4)]$$
$$S_{20} = 10 [6 + 76]$$
$$S_{20} = 10 [82] = 820$$

$$ \boxed{S_{20} = 820} $$