1. Definición de los términos en P.G.:
Si $a, b, c$ están en progresión geométrica, se cumple que la razón entre términos consecutivos es constante:
$$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$$
Esto implica que:
$$b^2 = ac$$
También podemos expresar los términos en función de $a$ y $r$:
$$b = ar$$
$$c = ar^2$$

2. Desarrollo del primer miembro (LHS):
Distribuimos el término exterior $a^2 b^2 c^2$ dentro del paréntesis:
$$LHS = \frac{a^2 b^2 c^2}{a^3} + \frac{a^2 b^2 c^2}{b^3} + \frac{a^2 b^2 c^2}{c^3}$$
Simplificando cada fracción:
$$LHS = \frac{b^2 c^2}{a} + \frac{a^2 c^2}{b} + \frac{a^2 b^2}{c}$$

3. Sustitución y simplificación:
Utilizamos la propiedad $b^2 = ac$ (y por tanto $b^4 = a^2 c^2$):

• Para el primer término: $\frac{b^2 c^2}{a} = \frac{(ac) c^2}{a} = c^3$
• Para el segundo término: $\frac{a^2 c^2}{b} = \frac{(ac)^2}{b} = \frac{(b^2)^2}{b} = \frac{b^4}{b} = b^3$
• Para el tercer término: $\frac{a^2 b^2}{c} = \frac{a^2 (ac)}{c} = a^3$

4. Conclusión:
Sumando los resultados obtenidos:
$$LHS = c^3 + b^3 + a^3$$
Ordenando los términos:
$$LHS = a^3 + b^3 + c^3$$

Gráfico de términos en el plano conceptual:
$$ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Término 1} & \text{Término 2} & \text{Término 3} \\ \hline a & b = ar & c = ar^2 \\ \hline \end{array} \implies b^2 = ac $$

Como el resultado es idéntico al segundo miembro de la igualdad, queda demostrada la expresión.
$$ \boxed{a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + c^3} $$