1. Datos y fórmulas fundamentales:
En una progresión geométrica (P.G.), la suma de los primeros $k$ términos se define como:
$$S_k = a_1 \frac{r^k - 1}{r - 1}$$
Donde:

• $a_1$: primer término.
• $r$: razón de la progresión.
• $n$: número de términos.

2. Determinación del valor de $n$:
Analizamos la primera ecuación factorizando la potencia de menor exponente, que es $3^{n-5}$:
$$3^{n-5} (3^4 + 3^3 + 3^2 + 3^1 + 1) = 121$$
Calculamos el valor dentro del paréntesis:
$$3^{n-5} (81 + 27 + 9 + 3 + 1) = 121$$
$$3^{n-5} (121) = 121$$
Simplificando:
$$3^{n-5} = 1 \implies n - 5 = 0 \implies n = 5$$

3. Simplificación de la relación de sumas:
Utilizamos la propiedad de la diferencia de sumas en una P.G.:
$S_{3n} - S_{2n}$ representa la suma desde el término $2n+1$ hasta el $3n$.
$S_{2n} - S_{n}$ representa la suma desde el término $n+1$ hasta el $2n$.

Sustituyendo la fórmula de suma:
$$S_{3n} - S_{2n} = \frac{a_1(r^{3n}-1)}{r-1} - \frac{a_1(r^{2n}-1)}{r-1} = \frac{a_1}{r-1} (r^{3n} - r^{2n}) = \frac{a_1 r^{2n}(r^n - 1)}{r-1}$$
$$S_{2n} - S_{n} = \frac{a_1(r^{2n}-1)}{r-1} - \frac{a_1(r^{n}-1)}{r-1} = \frac{a_1}{r-1} (r^{2n} - r^n) = \frac{a_1 r^n(r^n - 1)}{r-1}$$

Dividiendo ambas expresiones:
$$\frac{S_{3n} - S_{2n}}{S_{2n} - S_{n}} = \frac{\frac{a_1 r^{2n}(r^n - 1)}{r-1}}{\frac{a_1 r^n(r^n - 1)}{r-1}} = \frac{r^{2n}}{r^n} = r^n$$

Representación visual de los bloques de suma:
$$ \begin{array}{c} \underbrace{a_1 + \dots + a_n}_{S_n} + \underbrace{a_{n+1} + \dots + a_{2n}}_{S_{2n}-S_n} + \underbrace{a_{2n+1} + \dots + a_{3n}}_{S_{3n}-S_{2n}} \\ \hline \text{Relación: } \frac{S_{3n}-S_{2n}}{S_{2n}-S_n} = r^n \end{array} $$

4. Cálculo de la razón $r$:
Según el enunciado, esta relación es igual a 32:
$$r^n = 32$$
Como ya sabemos que $n = 5$:
$$r^5 = 32 \implies r = \sqrt[5]{32} \implies r = 2$$

$$ \boxed{r = 2} $$